Soal Dan Pembahasan Barisan Aritmatika

BARISAN DAN DERET ARITMATIKA

A.    POLA  BILANGAN

1.  Tentukan pola bilangan dari barisan berikut: 
   
   a.       2, 6, 10, 14, … 
   b.      1, 4, 7, 10, … 
   c.       3, 8, 13, 18, … 
   d.      2, 4, 6, 8, … 
   e.       2, 5, 10, 17, …
2. Diketahui barisan bilangan 2, 5, 8, 11, … , suku ke-100 adalah… 
3. Pola suku ke-n dari barisan bilangan adalah Un= 2n²+1. Tentukan 5 suku pertama barisan tersebut 
4. Kursi disebuah aula disusun dengan aturan berikut. Baris pertama terdapat 20 kursi, baris kedua berkurang dua kursi, demikian seterusnya tiap baris kebelakang berkurang dua kursi dari barisan depannya. Banyaknya kursi dibarisan ke-9 adalah ….

B.     SUKU TENGAH

Barisan-barisan berikut ini mempunyai banyak suku yang berjumlah ganjil. Tentukan suku tengah dari barisan-barisan aritmatika berikut ini:

a.       3, 8, 13,18, …, 103

b.      17, 19, 21,23,…, 97

c.       8, 14, 20, 26, …, 224

d.      130, 126, 122, 108,…, -26

C.    DERET ARITMATIKA

1.      Iuran warga setiap bulan selalu naik Rp 5.000,00 dari bulan sebelumnya. Jika iuran warga pada bulan pertama Rp 10.000,00, maka jumlah total iuran warga tersebut setelah 8 bulan adalah …

2.      Seorang ibu membagikan permen kepada 5 anaknya menurut deret aritmatika. Semakin muda usia anak semakin banyak permen yang diperoleh, jika anak pertama mendapat 5 permen dan anak kelima mendapat 21 permen, maka jumlah permen seluruhnya sebelum dibagi adalah …

3.      Pada tanggal 1 April 2012 seorang sales mampu menjual barang sebanyak 50 unit. Jika tiap hari berikutnya sales tersebut mampu menaikkan omzet penjualan sebesar 3 unit, hitunglah jumlah barang yang terjual sampai tanggal 5 April 2012.

4.      Seorang mandor diberi THR sebesar Rp 1.600.00,00 per tahun dan tiap tahun ditambah Rp. 80.000,00. Tentukan total pendapatan THR dalam jangka waktu 4 tahun!

D.    LATIHAN SOAL ULANGAN 

1.  Pola suku ke-n dari barisan bilangan 0, 2, 6, 12, … adalah …  
2. Tentukan 3 suku berikutnya dari barisan bilangan 3, 6, 9, 15, …! 
3. Tuliskan 5 suku pertama yang mempunyai pola Un= 3n²-1!  
4. Suku pertama da keempat barisan aritmatika berturut-turut 4 dan 6. Tentukan beda dan rumus suku ke-n  barisan tersebut 
5. Banyaknya suku dari barisan aritmatika 5, 8, 11, …, 122, 125 adalah…
6.  Diketahui suku ke-2 barisan aritmatika 45, sedangkan suku ke-6 nya 37. Tentukan suku ke-5 barisan tersebut! 
7.  Barisan aritmatika dengan banyaknya suku ganjil mempunyai suku pertam 4, beda antar dua suku berurutan 3 dan suku tengahnya 22. Maka banyaknya suku barisan aritmatika tersebut adalah… 
8. Diantara -5 dan 5 disisipkan 4 bilangan, sehingga bilangan awal dan sisipannya membentuk barisan aritmatika. Beda antar suku dari barisan tersebut adalah... 
9. Ditentukan bilangan aasli kurang dari 50. Carilah banyaknya bilangan dari barisan tersebut yang habis dibagi 3!  
10. Diketahui deret aritmatika U₂+U₃=12 dan U₇=15. Maka jumlah 5 suku pertamanya adalah…. 
11. Pengunjung salon HAPPY hari pertama 25 orang, hari ke-2 30 orang. Berapa banyaknya pengunjung pada hari ke-12 jika mengalami kenaikan tetap?

KUNCI JAWABAN

A.    POLA  BILANGAN

1.      a)  2, 6, 10, 14, …

Pola bilangannya adalah

U₁ = 2                   = 2 + 4 x 0

U₂ = 6   = 2+4     = 2 + 4 x 1

U₃ = 10 = 2+4+4 = 2 + 4 x 2

Un = 2 + 4 (n-1)

 = 2 + 4n-4

 = 4n – 2

b)  1, 4, 7, 10, …

Pola bilangannya adalah

U₁ = 1                   = 1 + 3 x 0

U₂ = 4   = 1+3     = 1 + 3 x 1

U₃ = 7   = 1+3+3 = 1 + 3 x 2

Un = 1 + 3 (n-1)

 = 1 + 3n-3

 = 3n – 2

c)    3, 8, 13, 18, …

Pola bilangannya adalah

U₁ = 3                   = 3 + 5 x 0

U₂ = 8   = 3+5     = 3 + 5 x 1

U₃ = 13 = 3+5+5 = 3 + 5 x 2

Un = 3 + 5 (n-1)

 = 3 + 5n-5

 = 5n – 2

d)   2, 4, 6, 8, …

Pola bilangannya adalah

U₁ = 2                   = 2 x 1

U₂ = 4   = 2+2     = 2 x 2

U₃ = 6 = 2+2+2   = 2 x 3

Un = 2n

e)      2, 5, 10, 17, …

Pola bilangannya adalah

U₁ = 2                = 1² + 1

U₂ = 5   = 4+1   = 2² + 1

U₃ = 10 = 9+1   = 3² + 1

Un = n² + 1

2.      2, 5, 8, 11, …

Pola bilangannya adalah

U₁ = 2           =  2+ 3 x 0

U₂ = 5  = 2+3 =  2+ 3 x 1

U₃ = 8  = 5+3 =  2+ 3 x 2

Un = 2 + 3 (n-1)

 = 2 + 3n-3

 = 3n – 1

U₁₀₀= 3 x 100 – 1

= 300 – 1

= 299

3.      Un= 2n²+1

U₁= 2 x 1² +1

     = 3

U₂= 2 x 2² +1

     = 9

U₃= 2 x 3² +1

     = 19

U₄= 2 x 4² +1

     = 33

U₅= 2 x 5² +1

     = 51

Jadi barisan bilangannya adalah 3, 9, 19, 33, 51.

4.      U₁ = 20  =  20-2 x 0

U₂ = 18  =  20-2x 1

U₃ = 16  =  20-2 x 2

Un = 20 - 2(n-1)

 = 20 - 2n+2

 = 22 – 2n

U₉ = 22 – 2 x 9

= 22 – 18

= 4

Jadi banyaknya kursi pada barisan ke 9 ada 4 kursi.

B.     SUKU TENGAH

a. U_t = ½ ( U₁+U_n)

 = ½ ( 3+ 103)

 = 53

b. U_t = ½ ( U₁+U_n)

 = ½ ( 17+ 97)

 =57

c. U_t = ½ ( U₁+U_n)

= ½ ( 8+ 224)

= 116

d. U_t = ½ ( U₁+U_n)

= ½ ( 130+ (-26))

= 52

C.    DERET ARITMATIKA

1.      Diketahui :  U₁ = 10.000         b = 5000

            S₈ = 8/2{ 2 x 10.000 + ( 8 - 1 ) 5000)

= 4 { 20.000 + 35.000}

=4 { 55.000}

= 220.000

Jadi jumlah total iuran warga selama 8 bulan adalah Rp 220.000,00

2.      Diketahui :  U₁ = 5      U₅ = 21            n = 5

             S₅ = 5/2 { 5 + 21)

= 5/2  { 26}

= 65

Jadi seluruh permen sebelum dibagikan adalah 65 buah

3.      Diketahui :  U₁ = 50    b = 3

            S₅ = 5/2  { 2 x 50 + ( 5 - 1 ) 3)

= 5/2   { 100 + 12}

=5/2   { 112}

= 280

Jadi jumlah barang yang terjual sampai tanggal 5 April 2012 sebanyak 280 buah.

4.      Diketahui :  U₁ = 1.600.000    b = 80.000

            S₄ = 4/2 { 2 x 1.600.000 + ( 4 - 1 ) 80.000 )

=   { 3.200.000 + 240.000}

=   { 3.440.000 }

= 6.880.000

Jadi total pendapatan THR selama 4 tahun adalah Rp 6.880.000,00

D.    LATIHAN SOAL ULANGAN

1.      U₁ = 0  = 1 x 0

U₂ = 2  = 2 x 1

U₃ = 6  = 3 x 2

Un = n(n-1)

= n²-n

2.      24, 39, 63

3.      Un= 3n²-1

U₁= 3 x 1² -1

     = 2

U₂= 3 x 2² -1

     = 11

U₃= 3 x 3² -1

     = 26

U₄= 3 x 4² -1

     = 47

U₅= 3 x 5² -1

     = 74

4.      U₁ = 4           U₄ = 6

U₄ = a + 3b

6    = 4 + 3b

2    = 3b

    = b

Un = a + (n-1)b

= 4 + (n-1) 2/3

= 4 + 2/3n - 2/3

= 2/3n + 10/3

5.      U₁ = 5         b = 3      Un = 125

Un = a + (n-1)b

125 = 5 + (n-1)3

125 = 5 + 3n -3

125 = 2 + 3n

123 = 3n

41   = n

6.      U₂ = 45       U₆ = 37

U₆ = U₂ + 4b

37 = 45 + 4b

-8 = 4b

-2 = b

U₅ = U₂ +3b

= 45 + 3(-2)

= 39

7.      U₁ = 4         b = 3      U_t = 22

U_t = (U₁+Un)/2

22 = (4+Un)/2

44 = 4 + Un

40 = Un

Un = a + (n-1)b

40 = 4 + (n-1)3

40 = 4 + 3n – 3

40 = 3n +1

39 = 3n

13 = n

8.      x = -5          y = 5      k=4

b = (y-x)/(k+1) = (-5-(-5))/(4+1) = 10/2 = 2

9.      bilangan habis dibagi kurang dari 150 habis dibagi 3 : 3, 6, 9, 12, …, 147

b = 3           a = 3       Un = 147

Un = a + (n-1)b

147 = 3 + (n-1)3

147 = 3 + 3n -3

147 = 3n

49 = n

10.  U₂ + U₃ = 12 ====> 2a + 3b = 12    x 1   2a + 3b = 12

U₇ =15 ========>  a  + 6b = 15    x 2   2a + 12b= 30  -

-9b = -18

b = 2

a + 6b = 15

a + 12 =15

a =3

 Sn = n/2 { 2a + (n-1)b}

S₅ = 5/2{ 2 . 3 + (5-1)2}

= 5/2 { 6 + 8 }

= 5/2 {14}

= 35

11.  U₁ = 25       U₂ = 30              b = 5

U₁₂ = 25 + (12-1)5

= 25 + 11 . 5

= 25 + 55

= 80