Barisan dan Deret aritmatika

A.      Barisan Aritmatika

Barisan aritmatika adalah susunan bilangan yang teratur yaitu antar 2 suku yang berurutan mempunyai selisih/beda yang sama/tetap.

Contoh: 1, 3, 5, 7, …

Pada contoh tersebut mempunyai beda tetap yaitu 2

Bentuk umum barisan bilangan yaitu:

U₁, U₂, U₃, …, Un-₂, U_n-1, Un

Dimana U₁ adalah suku pertama atau biasa ditulis a, U₂ adalah suku ke-2 dan seterusnya sampai Un adalah suku ke-n.

Jika U₁ = a

U₂ = a + b

U₃ = a + 2b dst

Maka dapat diperoleh pola Un= a + (n-1)b

Dengan Un= suku ke-n

a = suku pertama

n = banyaknya suku

b = beda

contoh: tentukan beda dan suku ke-9 dari barisan 112, 107, 102, 97, …

penyelesaian: b = U₂-U₁ = 107-112 = -5

U₉ = 112 + ( 9-1)(-5)

= 112 + (-40)

= 72

Jadi suku ke-9 adalah 72

B.      Suku Tengah Barisan aritmatika

Jika U₁, U₂, U₃, U₄,… adalah suku suatu barisan aritmatika, maka U₂ adalah suku tengah dari U₁ dan U₃. Demikian juga dengan U₃ adalah suku tengah dari U₂ dan U₄. Setiap suku tengah dari barisan aritmatika diperoleh dari hasil membagi dua jumlah suku di belakang dan di depannya.

Jadi, U2 = (U1 + U3)/2demikan pula U3 = (U2 + U4)/2

Pada barisan aritmatika yang mempunyai banyak suku berjumlah ganjil, maka suku yang berada di tengah barisan disebut suku tengah.

Jadi, U_t = (U1 + Un)/2

Keterangan :         U_t = Suku tengah

                              U_n = Suku ke-n

               U₁ = Suku pertama

Contoh:

Barisan-barisan berikut ini mempunyai banyak suku yang berjumlah ganjil. Tentukan suku tengah dari barisan-barisan aritmatika berikut ini:

a.      3, 8, 13,18, …, 103

b.      17, 19, 21,23,…, 97

Penyelesaian:

a.      U_t = ½ ( U₁+U_n)

= ½ ( 3+ 103)

= 53

b. U_t = ½ ( U₁+U_n)

= ½ ( 17+ 97)

=57

C.      Sisipan Barisan Aritmatika

Diantara dua bilangan x dan y disisipkan sebanyak k buah bilangan sehingga bilangan-bilangan awal dan sisipannya membentuk barisan aritmatika. Nilai beda barisan aritmatika yang dibentuk dapat ditentukan dengan menggunakan hubungan

X, …, …, y

k= 2 buah bilangan 

x, x+b, x+2b, y

y = x+3b sehingga

y = x + (k+1)b

y-x = (k+1)b

(y-x)/(k+1), x,y anggota bil bulat, x ≠ y    , k anggota bil asli

D.     Deret Aritmatika

Deret adalah jumlah dari suku-suku barisan bilangan.

Deret aritmatika adalah jumlah dari suku-suku pada barisan aritmatika

U₁+U₂+U₃+U₄+…+U_n=S_n

U₁+U₂+U₃=S₃

Menentukan rumus S_n

      U₁   +      U₂        +…+       U_n-1      +        U_n   =  S_n

      U_n   +      U_n-1     + …+       U₂        +        U₁   =  S_n  +

(U₁+U_n) + (U₂+( U_n-1)) +.....++ (( U_n-1)+U₂) + (U_n+ U₁)= 2S_n

Karena U₁= a, U_n=a+(n-1)b maka diperoleh

(a+a+(n-1)b) + (a+b+a(n-2)b) + … + (a(n-2)b +a+b) + (a+(n-1)b+a) = 2S_n

(2a+(n-1)b) + (2a+(n-1)b) + … + (2a+(n-1)b) + (2a+(n-1)b) = 2S_n

2S_n = n {2a + (n-1)b}

S_n =    (n {2a + (n-1)b})/2  atau

S_n = n/2{ a + a+(n-1)b}

karena a = U₁ dan a+(n-1)b = U_n maka diperoleh  S_n = n/2 { U₁ + U_n }

Keterangan : S_n = jumlah n suku deret aritmatika

n   = banyaknya suku

U₁  = suku pertama

U_n = suku terakhir

Contoh: 1) Diketahui deret aritmatika sebagai berikut: 3 + 5 + 7 + …+ 41. Tentukan jumlah dari bilangan-bilangan tersebut!

Jawab : diketahui U₁ = 3, U_n = 41, b = 2

3 + 5 + 7 + …+ 41 = S_n

U_n = a + (n-1) b

41 = 3 + (n-1)2

41 = 3 + 2n – 2

40 = 2n

20 = n

 Maka S₂₀ = 20/2 ( 3+41)

= 10 (44)

= 440

Jadi jumlah bilangan-bilangan tersebut adalah 440

2) Segulung tali dipotong menjadi 6 bagian. Masing-masing bagian panjangnya membentuk deret aritmatika. Potongan terpendek panjangnya 16cm, potongan terpanjang 84cm. berapa panjang tali tersebbut sebelum dipotong?

Jawab: diketahui U₁ = 16, U₆ = 84, n = 6

S₆ = 6/2 ( 16+84)

= 3 (100)

= 300cm atau 3m

Jadi panjang tali sebelum dipotong adalah 300cm atau 3m.