Halaman

Rabu, 09 Oktober 2013

Barisan dan Deret aritmatika






A.      Barisan Aritmatika
Barisan aritmatika adalah susunan bilangan yang teratur yaitu antar 2 suku yang berurutan mempunyai selisih/beda yang sama/tetap.
Contoh: 1, 3, 5, 7, …
Pada contoh tersebut mempunyai beda tetap yaitu 2
Bentuk umum barisan bilangan yaitu:
U1, U2, U3, …, Un-2, Un-1, Un
Dimana U1 adalah suku pertama atau biasa ditulis a, U2 adalah suku ke-2 dan seterusnya sampai Un adalah suku ke-n.
Jika U1 = a
U2 = a + b
U3 = a + 2b dst
Maka dapat diperoleh pola Un= a + (n-1)b
Dengan Un= suku ke-n
a = suku pertama
n = banyaknya suku
b = beda
contoh: tentukan beda dan suku ke-9 dari barisan 112, 107, 102, 97, …
penyelesaian: b = U2-U1 = 107-112 = -5
U9 = 112 + ( 9-1)(-5)
= 112 + (-40)
= 72
Jadi suku ke-9 adalah 72
B.      Suku Tengah Barisan aritmatika
Jika U1, U2, U3, U4,… adalah suku suatu barisan aritmatika, maka U2 adalah suku tengah dari U1 dan U3. Demikian juga dengan U3 adalah suku tengah dari U2 dan U4. Setiap suku tengah dari barisan aritmatika diperoleh dari hasil membagi dua jumlah suku di belakang dan di depannya.
Jadi, U2 = (U1 + U3)/2demikan pula U3 = (U2 + U4)/2
Pada barisan aritmatika yang mempunyai banyak suku berjumlah ganjil, maka suku yang berada di tengah barisan disebut suku tengah.
Jadi, Ut = (U1 + Un)/2
Keterangan :         Ut = Suku tengah
                              Un = Suku ke-n
               U1 = Suku pertama
Contoh:
Barisan-barisan berikut ini mempunyai banyak suku yang berjumlah ganjil. Tentukan suku tengah dari barisan-barisan aritmatika berikut ini:
a.      3, 8, 13,18, …, 103
b.      17, 19, 21,23,…, 97
Penyelesaian:
a.      Ut = ½ ( U1+Un)
= ½ ( 3+ 103)
= 53
b. Ut = ½ ( U1+Un)
= ½ ( 17+ 97)
=57

C.      Sisipan Barisan Aritmatika
Diantara dua bilangan x dan y disisipkan sebanyak k buah bilangan sehingga bilangan-bilangan awal dan sisipannya membentuk barisan aritmatika. Nilai beda barisan aritmatika yang dibentuk dapat ditentukan dengan menggunakan hubungan
X, …, …, y
k= 2 buah bilangan 
x, x+b, x+2b, y
y = x+3b sehingga
y = x + (k+1)b
y-x = (k+1)b
(y-x)/(k+1), x,y anggota bil bulat, x ≠ y    , k anggota bil asli

D.     Deret Aritmatika
Deret adalah jumlah dari suku-suku barisan bilangan.
Deret aritmatika adalah jumlah dari suku-suku pada barisan aritmatika
U1+U2+U3+U4+…+Un=Sn
U1+U2+U3=S3
Menentukan rumus Sn
      U1   +      U2        +…+       Un-1      +        Un   =  Sn
      Un   +      Un-1     + …+       U2        +        U1   =  Sn  +
(U1+Un) + (U2+( Un-1)) +.....++ (( Un-1)+U2) + (Un+ U1)= 2Sn
Karena U1= a, Un=a+(n-1)b maka diperoleh
(a+a+(n-1)b) + (a+b+a(n-2)b) + … + (a(n-2)b +a+b) + (a+(n-1)b+a) = 2Sn
(2a+(n-1)b) + (2a+(n-1)b) + … + (2a+(n-1)b) + (2a+(n-1)b) = 2Sn
2Sn = n {2a + (n-1)b}
Sn =    (n {2a + (n-1)b})/2  atau
Sn = n/2{ a + a+(n-1)b}
karena a = U1 dan a+(n-1)b = Un maka diperoleh  Sn = n/2 { U1 + Un }
Keterangan : Sn = jumlah n suku deret aritmatika
n   = banyaknya suku
U1  = suku pertama
Un = suku terakhir
Contoh: 1) Diketahui deret aritmatika sebagai berikut: 3 + 5 + 7 + …+ 41. Tentukan jumlah dari bilangan-bilangan tersebut!
Jawab : diketahui U1 = 3, Un = 41, b = 2
3 + 5 + 7 + …+ 41 = Sn
Un = a + (n-1) b
41 = 3 + (n-1)2
41 = 3 + 2n – 2
40 = 2n
20 = n
 Maka S20 = 20/2 ( 3+41)
= 10 (44)
= 440
Jadi jumlah bilangan-bilangan tersebut adalah 440
2) Segulung tali dipotong menjadi 6 bagian. Masing-masing bagian panjangnya membentuk deret aritmatika. Potongan terpendek panjangnya 16cm, potongan terpanjang 84cm. berapa panjang tali tersebbut sebelum dipotong?
Jawab: diketahui U1 = 16, U6 = 84, n = 6
S6 = 6/2 ( 16+84)
= 3 (100)
= 300cm atau 3m
Jadi panjang tali sebelum dipotong adalah 300cm atau 3m.


Tidak ada komentar:

Posting Komentar